Introducción

¿QUÉ ES LA TEORÍA DE CONJUNTOS?

Georg Cantor (1845-1918); definió el concepto de conjuntos como una colección de objetos reales o abstractos e introdujo potencias y las operaciones entre conjuntos.

Cantor afirmaba que cambia la nacionalidad de los conjuntos finitos, ya sea porque se disminuye o incrementa el número de elementos de dichos conjuntos, de la misma forma cambia la cardinalidad de los conjuntos infinitos, entonces para cada conjunto infinito conocido existe otro infinito con una cardinalidad mayor. Ejemplo: entre 1 y 2 existe un conjunto de infinitos con un sin fin de números decimales como 0.0000000001 e infinidades más, entonces dentro de 1 y 3 existe un conjunto de números también infinitos, pero aún más grande que el anterior.

En la actualidad un conjunto es una colección "bien definida" de objetos llamado elementos o miembros del conjunto.

"bien definida" es fundamental para determinar si un grupo de personas o una colección de objetos es o no un conjunto, ya que para que una colección de objetos se considera como un conjunto no debe haber ambigüedad ni subjetividad. 

CONJUNTOS

Los conjuntos se indican por medio de una letra mayúscula y elementos de un conjunto por medio de letras minúsculas, números o combinación de ambos. Los elementos se colocan entre llaves, {}, separados por comas. 

Ejemplos: 

A= {1, 2, 3, 4,5,.....}

B= {a, b, c, d, e, f,.....}

En un conjunto se pueden eliminar los elementos repetidos, además de que el orden en que se listen dichos elementos no es importante.

Ejemplo:

B={e,s,c,r,i,t,o,r,i,o}

  

Se repiten la letra r,i,o; entonces queda:

 = {e,s,c,r,i,t,o}

 ={s,e,o,i,t,r,c}

No importa el orden en que se acomoden.

Se dice que un elemento X pertenece a un conjunto C si el elemento se encuentra dentro del conjunto, para expresar la pertenencia se tiene esta notación:

X∈C significa que X es elemento del conjunto C.

X∉C significa que X no es elemento del conjunto C.

   Ejemplo:

Se tiene el conjunto:

A= {a,b,c,d,e,f,g,....}

Entonces a∈A pero 7∉A.

Algunas veces es imposible o inconveniente listar los elementos de un conjunto entre llaves, en lugar de esto se utiliza lo que se conoce como notación abstracta:

A= {x|P(x)}

Se lee como A es el conjunto de las x, tal que cumple con la condición (o condiciones) P (x)

EJEMPLO:

Sea el conjunto A que tiene como elementos los países que estén en el continente americano.

A= {x|x es un país del continente americano}

AUNQUE SE PUEDA ESPECIFICAR LAS CARACTERISTICAS DE LOS ELEMENTOS DE UN CONJUNTO CON PALABRAS, EXIXTEN ALGUNOS CONJUNTOS QUE MÁS SE UTILIZAN EN MATEMATICAS SE PUEDEN USAR PARA SIMPLIFICAR LA IMFORMACION:

N=conjunto de los números naturales= {0,1,2,3,.......}

Z+=conjunto de los enteros no negativos= {1,2,3,.......}

Z=conjunto de los números enteros= {......,-2,-1,0,1,2,3,....}

Q=conjunto de los números racionales={a/b,a,b∈Z;}

R=conjunto de los números reales

C=conjunto de los números complejos=x+y^i|x, y∈R;i^2=-1}

U=conjunto universal

Ø=conjunto vacío

SUBCONJUNTOS

Si todos los elementos de A son también de B, se dice que A es subconjunto de B o que, A este contenido en B, y esto se detona como:

A ⊆B
Si A no es subconjunto de B se escribe:
A ⊄B
Dos conjuntos A y B son iguales si tienen los mismos elementos, es decir, si cumple que A ⊆B y B ⊆A

Son A= {negro, blanco, gris}

B= {gris, negro, blanco}

Entonces A=B

Aplicando las definiciones de subconjunto:

· Todo conjunto A es un subconjunto de sí mismo:


A ⊆A


· El conjunto vacío es subconjunto de todos los conjuntos y en particular de el mismo:

Ø ⊆A

Ø ⊆U

Ø ⊆Ø


· Todos los conjuntos son subconjuntos del universo:
A ⊆U

Ø ⊆U
U ⊆U

Si A es un conjunto entonces al conjunto de todos los subconjuntos de A se le llama conjunto potencia de A y se indica como P(A).

Sea el conjunto

A={1, 2, 3}

Entonces el conjunto potencia de A es:


P(A)={Ø,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}






El número de subconjuntos de A esta dado por


|P(A)|=2^n donde n es el número de elementos del conjunto A

Ejemplo:

A={a,b,c}

P(A)={Ø,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}

|P(A)|=2^3=8

Unión (A u B)

La unión del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene a todos

Los elementos del conjunto A y del conjunto B:

A u B = {x | x € A ó x € B}

Si tenemos los conjuntos A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } y B = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } la unión de ellos es el conjunto AuB={1,2,3,4,5,6,7,8}

En este aplica la propiedad conmutativa 

AuB= B=uA

Si en una unión se altera el orden de los conjuntos, el resultado no varía. P U Q = Q U P

la idempotencia es la propiedad para realizar una acción determinada varias veces y aun así conseguir el mismo resultado que se obtendría si se realizase una sola vez

AuA=A

Intersección (A n B)

La intersección del conjunto A y el conjunto B es el conjunto que contiene

a todos los elementos que son comunes a los conjuntos A y B

A n B = {x | x € A; x € B}

Si tenemos los conjuntos A = {1,3,5,4,6,7,8} y B={4,5,6,7} el conjunto de  intersección es AnB={4,5,6,7}

Si A y B son conjuntos disjuntos (es decir, conjuntos que no tienen

Elementos comunes) entonces A n B = 0

Complemento (A´)

El complemento de un conjunto A, que se denota como A', es el conjunto

Que contiene a todos los elementos del conjunto universo que no pertenecen

Al conjunto A: A' = {x| x € U ;x € A}

si tenemos los conjuntos U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} y A={1,3,5,7,9} entonces el complemento A es el conjunto A´={0,2,4,6,8}

Diferencia (A-B)

La diferencia entre dos conjuntos arbitrarios A y B es el conjunto que contiene

A todos los elementos del conjunto A que no se encuentran en B: A - B = {x | x € A; x ₡ B}

si tenemos los conjuntos A={1,2,3,4,5,6} y B={3,5} entonces el conjunto diferencia de A con B es : A-B ={1,2,4,6}

Diferencia simétrica (A © B)

La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B, es el conjunto que contiene a todos los elementos que se encuentran en el conjunto A pero no están en el conjunto B y también a los elementos en el conjunto B que no están en A. Dicho de otra manera, el conjunto

A © B contiene a todos los elementos que se encuentran en A u B pero

qué no están en A n B:

A © B = {x | (x € A y x ₡ B) o (x € B y x ₡ A)}

Si tenemos los conjuntos A= {a,b,c,d,e} y B={d,e,f,g}, entonces la diferencia simétrica es:

A © B= {a,b,c,f,g}

Diagramas de Venn

Los diagramas de Venn son representaciones gráficas para mostrar la relación entre los elementos de los conjuntos, las operaciones con conjuntos se pueden ilustrar mediante un diagrama de Venn con el fin de observar más claramente la relación entre los conjuntos.

Aquí vemos representados algunas operaciones de conjuntos

Unión

Intersección

Diferencia

Diferencia Simétrica

Complemento

Leyes de Morgan

Augustus de Morgan demostró que la negación de la intersección de dos o más conjuntos es equivalente a la unión de los conjuntos negados separadamente.

La negación de la unión de dos o más conjuntos es igual a la intersección los conjuntos negados por separado.

EJEMPLO:

Se tiene:

U= {a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}

A= {a,c,f,g,i,j}

B= {a,b,c,g,I,j}

Aplicando las definiciones:

AꓴB= {a,b,c,f,g,i,j}

(AꓵB)´={d,e,h}

Por otro lado, también se tiene:

A´= {b,d,e,h}

B´= {d,e,f,h}

A´ꓵB´= {d,e,h}

Por lo tanto, se afirma que:

(AꓴB)´=(A´ꓵ B´)

(AꓵB)´=(A´ꓴ B´)

“las operaciones de unión o intersección de conjuntos se pueden extender a más de dos conjuntos”

(AꓴBꓴC)´=A´ꓵ B´ꓵ C´

(AꓵBꓵC)´=A´ꓴ B´ꓴ C´